Bac Blanc 2025 - Jour 1 - Exercice 1C
Mouvements
Données :
- Rayon de Saturne : $\textcolor{#caa7ff}{R_S = 58,2 \cdot 10^3 km}$
- Rayon interieur du premier anneau : $\textcolor{#caa7ff}{r_{int} = 6,69 \cdot 10^4 km}$
- Rayon extérieur du premier anneau : $\textcolor{#caa7ff}{r_{ext} = 7,45 \cdot 10^4 km}$
- Rayon extérieur du dernier anneau : $\textcolor{#caa7ff}{R_{ext} = 1,36 \cdot 10^5 km}$
- Rayon de l'orbite de Janus : $\textcolor{#caa7ff}{R_J = 1,51 \cdot 10^5 km}$
- Constante de gravitation universelle : $\textcolor{#caa7ff}{G = 6,67 \cdot 10^{-11} m^3 \cdot km^{-1} \cdot s^{-2}}$
La vitesse $\textcolor{#caa7ff}{v}$, constante, d'un satellite $\textcolor{#caa7ff}{J}$ de masse $\textcolor{#caa7ff}{m}$ en orbite circulaire autour de Saturne est donné par la relation :
$$\textcolor{#caa7ff}{
V = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{r}}
\quad \text{(relation 1)}
}$$
Où $\textcolor{#caa7ff}{r}$ est le rayon constant de l'orbite du satellite et $\textcolor{#caa7ff}{M_S}$ la masse de Saturne.
1. Retrouver la relation 1 en utilisant la deuxième loi de Newton et la loi d'interaction gravitationnelle.
2. Montrer que l'expression de la vitesse du satellite permet de retrouver la troisième loi de Kepler qui relie la période $\textcolor{#caa7ff}{T}$ du satellite au rayon $\textcolor{#caa7ff}{r}$ de son orbite : $\textcolor{#caa7ff}{T^2 = k \cdot r^3}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{k = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_S}}$.
3. Déterminer la masse de Saturne sachant que la période de révolution de Janus est de 17h.
4. Justifier qualitativement que tous les corps du premier anneau ne tournent pas à la même vitesse autour de Saturne.
5. Déterminer le nombre de tours effectués par la bordure interne du premier anneau, située à la distance $\textcolor{#caa7ff}{r_{int}}$, pendant que la bordure externe du dernier anneau, située à $\textcolor{#caa7ff}{R_{ext}}$, réalise un tour complet.
On se place dans le repère mobile de Frenet $\textcolor{#caa7ff}{(J, \vec{t}, \vec{n})}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{\vec{t}}$ le vecteur tangeant a la trajectoire et dans le sens du mouvement, et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{n}}$ son vecteur normal, orienté vers Saturne.
1. L'étude est effectuée dans le référentiel géocentrique centré sur Saturne. Ce dernier est ainsi Galiléen et donc, d'après la deuxième loi de Newton : $\textcolor{#caa7ff}{\sum \vec{f} = m \cdot \vec{a}}$.
D'autre part, le corps étant en orbit, $\textcolor{#caa7ff}{\sum \vec{f} = \vec{F_{S/J}}}$ or d'après la loi d'interaction gravitationnelle : $\textcolor{#caa7ff}{\vec{F_{S/J}} = G \cdot \frac{m \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n}}$
On a donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
m \cdot \vec{a} =
G \cdot \frac{m \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n}
\newline \iff
\vec{a} =
\frac{G \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n}
}$$
Or dans un repère de Frenet :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{a} = \frac{dv}{dt} \cdot \vec{t} + \frac{V^2}{r} \cdot \vec{n}
}$$
Donc par identification :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\frac{V^2}{r} = \frac{G \cdot M_S}{r^2}
\newline \iff
\boxed{
V = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{r}}
}
}$$
2.
$$\textcolor{#caa7ff}{
V = \frac{D}{T}
\quad \text{Avec D la longueur de l'orbite}
\quad D = 2\pi \cdot r
\newline \iff
T = \frac{D}{V}
\newline \iff
T^2 =
\frac{D^2}{V^2} =
\frac{4\pi^2 \cdot r^2}{\frac{G \cdot M_S}{r}} =
\boxed{
\frac{4\pi^2}{G \cdot M_S} \cdot r^3
}
}$$
3.
On rappelle que :
- $\textcolor{#caa7ff}{r = R_J = 1,51 \cdot 10^5 km = 1,51 \cdot 10^8 m}$
- $\textcolor{#caa7ff}{T = 17h = 6,1 \cdot 10^4 s}$
$$\textcolor{#caa7ff}{
T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_S} \cdot r^3
\newline \iff
M_S =
\frac{4\pi^2 \cdot r^3}{T^2 \cdot G} =
\frac{4\pi^2 \cdot (1,51 \cdot 10^8)^3}{(6,1 \cdot 10^4)^2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11}} =
\boxed{
5,5 \cdot 10^{26} kg
}
}$$
4. La vitesse des corps autour de Saturne ne dépend que de $\textcolor{#caa7ff}{r}$ le rayon de leur orbite, $\textcolor{#caa7ff}{M_S}$ et $\textcolor{#caa7ff}{G}$ étant constantes.
Entre les corps du premier anneau les plus proches et ceux les plus éloignés de Saturne, il y a un écart de $\textcolor{#caa7ff}{r_{ext} - r_{int} = \boxed{7,6 \cdot 10^3 km}}$ et donc un écart conséquent de vitesse.
5. On note $\textcolor{#caa7ff}{T_i}$ la periode de la bordure interne du premier anneau et $\textcolor{#caa7ff}{T_e}$ la periode de la bordure externe du dernier anneau.
$$\textcolor{#caa7ff}{
T_i^2 = k \cdot r_{int}^3 \quad \text{et} \quad T_e^2 = k \cdot R_{ext}^3
\newline \Rightarrow
\frac{T_e^2}{T_i^2} = \frac{k \cdot R_{ext}^3}{k \cdot r_{int}^3}
\newline \iff
\bigl(\frac{T_e}{T_i}\bigr)^2 = \frac{R_{ext}^3}{r_{int}^3}
\newline \iff
\frac{T_e}{T_i} =
\sqrt{\frac{R_{ext}^3}{r_{int}^3}} =
\sqrt{\frac{(1,36 \cdot 10^5)^3}{(6,69 \cdot 10^4)^3}} =
\boxed{
2,90
}
}$$
Ainsi, lorsque la bordure externe du dernier anneau réalise un tour complet, la bordure interne du premier anneau en réalise environ $\textcolor{#caa7ff}{2,9}$.